Parallelogram vs Reghoek
Parallelogram en reghoek is vierhoeke. Die geometrie van hierdie figure was vir duisende jare aan die mens bekend. Die onderwerp word uitdruklik behandel in die boek "Elemente" geskryf deur die Griekse wiskundige Euclid.
Parallelogram
Parallelogram kan gedefinieer word as die meetkundige figuur met vier sye, met teenoorstaande sye parallel aan mekaar. Meer presies is dit 'n vierhoek met twee pare ewewydige sye. Hierdie parallelle aard gee baie meetkundige kenmerke aan die parallelogramme.
'n Vierhoek is 'n parallelogram as die volgende meetkundige kenmerke gevind word.
• Twee pare teenoorstaande sye is ewe lank. (AB=DC, AD=BC)
• Twee pare teenoorstaande hoeke is ewe groot. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• As die aangrensende hoeke aanvullende [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• 'n Paar sye wat teenoor mekaar staan, is ewewydig en ewe lank. (AB=DC & AB∥DC)
• Die hoeklyne halveer mekaar (AO=OC, BO=OD)
• Elke diagonaal verdeel die vierhoek in twee kongruente driehoeke. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Verder is die som van die vierkante van die sye gelyk aan die som van die vierkante van diagonale. Dit word soms na verwys as die parallelogramwet en het wydverspreide toepassings in fisika en ingenieurswese. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Elkeen van die bogenoemde kenmerke kan as eienskappe gebruik word sodra vasgestel is dat die vierhoek 'n parallelogram is.
Oppervlakte van die parallelogram kan bereken word deur die produk van die lengte van een sy en die hoogte na die teenoorgestelde kant. Daarom kan oppervlakte van die parallelogram aangegee word as
Area van parallelogram=basis × hoogte=AB×h
Die oppervlakte van die parallelogram is onafhanklik van die vorm van individuele parallelogram. Dit is slegs afhanklik van die lengte van die basis en die loodregte hoogte.
As die sye van 'n parallelogram deur twee vektore voorgestel kan word, kan die oppervlakte verkry word deur die grootte van die vektorproduk (kruisproduk) van die twee aangrensende vektore.
As sye AB en AD onderskeidelik deur die vektore ([latex]\regs-pyl{AB}[/latex]) en ([latex]\oorregs-pyl{AD}[/latex]) verteenwoordig word, die oppervlakte van die parallelogram word gegee deur [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], waar α die hoek is tussen [latex]\ regspyl{AB}[/latex] en [latex]\ regspyl{AD}[/latex].
Volgende is 'n paar gevorderde eienskappe van die parallelogram;
• Die oppervlakte van 'n parallelogram is twee keer die oppervlakte van 'n driehoek wat deur enige van sy hoeklyne geskep word.
• Die oppervlakte van die parallelogram word in die helfte gedeel deur enige lyn wat deur die middelpunt gaan.
• Enige nie-gedegenereerde affiene transformasie neem 'n parallelogram na 'n ander parallelogram
• 'n Parallellogram het rotasiesimmetrie van orde 2
• Die som van die afstande vanaf enige binnepunt van 'n parallelogram na die sye is onafhanklik van die ligging van die punt
Reghoek
'n Vierhoek met vier regte hoeke staan bekend as 'n reghoek. Dit is 'n spesiale geval van die parallelogram waar die hoeke tussen enige twee aangrensende sye regte hoeke is.
Benewens al die eienskappe van 'n parallelogram, kan bykomende kenmerke herken word wanneer die meetkunde van die reghoek in ag geneem word.
• Elke hoek by die hoekpunte is 'n regte hoek.
• Die hoeklyne is ewe lank, en hulle halveer mekaar. Daarom is die gehalveerde dele ook ewe lank.
• Die lengte van die hoeklyne kan met behulp van Pythagoras se stelling bereken word:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Die oppervlakteformule verminder tot die produk van lengte en breedte.
Area van reghoek=lengte × breedte
• Baie simmetriese eienskappe word op 'n reghoek gevind, soos;
– 'n Reghoek is siklies, waar al die hoekpunte op die omtrek van 'n sirkel geplaas kan word.
– Dit is gelykhoekig, waar al die hoeke gelyk is.
– Dit is isogonaal, waar alle hoeke binne dieselfde simmetrie-baan lê.
– Dit het beide refleksiesimmetrie en rotasiesimmetrie.
Wat is die verskil tussen Parallelogram en Reghoek?
• Parallelogram en reghoek is vierhoeke. Reghoek is 'n spesiale geval van die parallelogramme.
• Oppervlakte van enige kan bereken word deur die formule basis ×hoogte te gebruik.
• Met inagneming van die hoeklyne;
– Die hoeklyne van die parallelogram halveer mekaar, en halveer die parallelogram om twee kongruente driehoeke te vorm.
– Die hoeklyne van die reghoek is ewe lank en halveer mekaar; gehalveerde dele is ewe lank. Die hoeklyne halveer die reghoek in twee kongruente reghoekige driehoeke.
• Met inagneming van die interne hoeke;
– Opponerende interne hoeke van die parallelogram is ewe groot. Twee aangrensende interne hoeke is aanvullend
– Al vier interne hoeke van die reghoek is regte hoeke.
• Met inagneming van die kante;
– In 'n parallelogram is die som van die vierkante van die sye gelyk aan die som van die vierkante van die diagonaal (Parallelogramwet)
– In reghoeke is die som van die vierkante van die twee aangrensende sye gelyk aan die vierkant van die diagonaal aan die punte. (Pythagoras se reël)
