Verskil tussen Riemann-integraal en Lebesgue-integraal

2024 Outeur: Alex Aldridge | [email protected]. Laas verander: 2023-12-17 13:31

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integrasie is 'n hoofonderwerp in calculus. In 'n breër sin kan integrasie gesien word as die omgekeerde proses van differensiasie. Wanneer werklike probleme gemodelleer word, is dit maklik om uitdrukkings te skryf wat afgeleides behels. In so 'n situasie word die integrasiebewerking vereis om die funksie te vind wat die spesifieke afgeleide gegee het.

Vanuit 'n ander hoek is integrasie 'n proses wat die produk van 'n funksie ƒ(x) en δx opsom, waar δx geneig is om 'n sekere limiet te wees. Dit is hoekom ons die integrasiesimbool as ∫ gebruik. Die simbool ∫ is in werklikheid wat ons verkry deur die letter s te rek om na som te verwys.

Riemann-integraal

Beskou 'n funksie y=ƒ(x). Die integraal van y tussen a en b, waar a en b tot 'n versameling x behoort, word geskryf as _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Dit word 'n definitiewe integraal van die enkelwaarde en kontinue funksie y=ƒ(x) tussen a en b genoem. Dit gee die oppervlakte onder die kromme tussen a en b. Dit word ook Riemann-integraal genoem. Riemann-integraal is geskep deur Bernhard Riemann. Riemann-integraal van 'n kontinue funksie is gebaseer op die Jordaan-maatstaf, daarom word dit ook gedefinieer as die limiet van die Riemann-somme van die funksie. Vir 'n reële waardefunksie gedefinieer op 'n geslote interval, die Riemann-integraal van die funksie met betrekking tot 'n partisie x₁, x₂, …, x n _{gedefinieer op die interval [a, b] en t}1_{, t}2_{, …, t n}, waar x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 vir elke i ε {1, 2, …, n}, Riemann-som word gedefinieer as Σ_{i=o tot n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue-integraal

Lebesgue is 'n ander soort integraal, wat 'n wye verskeidenheid gevalle dek as wat Riemann-integraal dek. Die lebesgue-integraal is in 1902 deur Henri Lebesgue ingestel. Legesgue-integrasie kan beskou word as 'n veralgemening van die Riemann-integrasie.

Waarom moet ons nog 'n integraal bestudeer?

Kom ons kyk na die kenmerkende funksie ƒ_{A (x)=}{_{0 as, x nie ε A}^{1 if, x ε A}op 'n versameling A. Dan eindige lineêre kombinasie van kenmerkende funksies, wat gedefinieer word as F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) word die eenvoudige funksie genoem as E} i _{vir elke i meetbaar is. Die Lebesgue-integraal van F (x) oor E word aangedui deur} E_{∫ ƒ(x)dx. Die funksie F (x) is nie Riemann-integreerbaar nie. Daarom is Lebesgue-integraal herformuleer Riemann-integraal, wat sekere beperkings het op die funksies wat geïntegreer moet word.}

Wat is die verskil tussen Riemann-integraal en Lebesgue-integraal?

· Die Lebesgue-integraal is 'n veralgemeningsvorm van Riemann-integraal.

· Die Lebesgue-integraal laat 'n telbare oneindigheid van diskontinuïteite toe, terwyl Riemann-integraal 'n eindige aantal diskontinuïteite toelaat.