Assosiatief vs Kommutatief
In ons daaglikse lewe moet ons getalle gebruik wanneer ons ook al 'n mate van iets moet kry. By die kruidenierswinkel, by die vulstasie en selfs in die kombuis moet ons twee of meer hoeveelhede optel, aftrek en vermenigvuldig. Vanuit ons praktyk voer ons hierdie berekeninge redelik moeiteloos uit. Ons let nooit op of bevraagteken waarom ons hierdie operasies op hierdie spesifieke manier doen nie. Of hoekom hierdie berekeninge nie op 'n ander manier gedoen kan word nie. Die antwoord is versteek in die manier waarop hierdie bewerkings in die wiskundige veld van algebra gedefinieer word.
In algebra word 'n bewerking wat twee hoeveelhede behels (soos optelling) gedefinieer as 'n binêre bewerking. Meer presies is dit 'n bewerking tussen twee elemente uit 'n versameling en hierdie elemente word die 'operand' genoem. Baie bewerkings in wiskunde insluitend rekenkundige bewerkings wat vroeër genoem is en dié wat in die versamelingsteorie, lineêre algebra en wiskundige logika teëgekom word, kan as binêre bewerkings gedefinieer word.
Daar is 'n stel reëls wat betrekking het op 'n spesifieke binêre bewerking. Assosiatiewe en die kommutatiewe eienskappe is twee fundamentele eienskappe van die binêre bewerkings.
Meer oor kommutatiewe eiendom
Gestel een of ander binêre bewerking, aangedui deur die simbool ⊗, word op die elemente A en B uitgevoer. As die volgorde van die operandes nie die resultaat van die bewerking beïnvloed nie, word gesê dat die bewerking kommutatief is. d.w.s. as A ⊗ B=B ⊗ A dan is die bewerking kommutatief.
Die rekenkundige bewerkings optelling en vermenigvuldiging is kommutatief. Die volgorde van die getalle saamgevoeg of vermenigvuldig beïnvloed nie die finale antwoord nie:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Maar in die geval van deling gee verandering in die volgorde die resiproke van die ander, en in aftrekking gee die verandering die negatiewe van die ander. Daarom
A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 en 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0.8 en 5 ÷ 4=1.25 [in hierdie geval A, B ≠ 1 en 0]
In werklikheid word gesê dat die aftrekking anti-kommutatief is; waar A – B=– (B – A).
Die logiese verbindings, die voegwoord, disjunksie, implikasie en die ekwivalensie, is ook kommutatief. Waarheidsfunksies is ook kommutatief. Die vasgestelde bedrywighede unie en kruising is kommutatief. Optelling en die skalaarproduk van die vektore is ook kommutatief.
Maar die vektoraftrekking en vektorproduk is nie kommutatief nie (vektorproduk van twee vektore is anti-kommutatief). Die matriksoptelling is kommutatief, maar die vermenigvuldiging en die aftrekking is nie kommutatief nie.(Vermenigvuldiging van twee matrikse kan kommutatief wees in spesiale gevalle, soos die vermenigvuldiging van 'n matriks met sy inverse of die identiteitsmatriks; maar matrikse is beslis nie kommutatief as die matrikse nie ewe groot is nie)
Meer oor Assosiatiewe Eiendom
Daar word gesê dat 'n binêre bewerking assosiatief is as die volgorde van die uitvoering nie die resultaat beïnvloed wanneer twee of meer gevalle van die operateur teenwoordig is nie. Beskou die elemente A, B en C en die binêre bewerking ⊗. Daar word gesê dat die bewerking ⊗ assosiatief is as
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Van die basiese rekenkundige funksies is slegs optelling en die vermenigvuldiging assosiatief.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Die aftrekking en deling is nie assosiatief nie;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 en (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2.4 en (5 ÷ 4) ÷ 3=0.2666
Die logiese verbindings disjunksie, konjunksie en ekwivalensie is assosiatief, soos ook die stel bewerkings unie en kruising. Die matriks en vektoroptelling is assosiatief. Die skalêre produk van vektore is assosiatief, maar die vektorproduk is nie. Matriksvermenigvuldiging is slegs assosiatief onder spesiale omstandighede.
Wat is die verskil tussen Kommutatiewe en Assosiatiewe Eiendom?
• Beide assosiatiewe eienskap en die kommutatiewe eienskap is spesiale eienskappe van die binêre bewerkings, en sommige voldoen aan hulle en sommige nie.
• Hierdie eienskappe kan gesien word in baie vorme van algebraïese bewerkings en ander binêre bewerkings in wiskunde, soos die kruising en unie in versamelingsteorie of die logiese verbindings.
• Die verskil tussen kommutatiewe en assosiatiewe is dat kommutatiewe eienskap sê dat die volgorde van die elemente nie die finale resultaat verander nie terwyl assosiatiewe eienskap sê dat die volgorde waarin die bewerking uitgevoer word, nie die finale antwoord beïnvloed nie..
