Bevolking vs. Voorbeeldstandaardafwyking
In statistieke word verskeie indekse gebruik om 'n datastel te beskryf wat ooreenstem met sy sentrale neiging, verspreiding en skeefheid. Standaardafwyking is een van die mees algemene maatstawwe van verspreiding van data vanaf die middel van die datastel.
Weens praktiese probleme sal dit nie moontlik wees om van data van die hele populasie gebruik te maak wanneer 'n hipotese getoets word nie. Daarom gebruik ons datawaardes uit steekproewe om afleidings oor die populasie te maak. In so 'n situasie word dit beramers genoem aangesien hulle die populasieparameterwaardes skat.
Dit is uiters belangrik om onbevooroordeelde beramers in afleidings te gebruik. Daar word gesê dat 'n beramer onbevooroordeeld is as die verwagte waarde van daardie beramer gelyk is aan die populasieparameter. Byvoorbeeld, ons gebruik die steekproefgemiddelde as 'n onbevooroordeelde beramer vir die populasiegemiddelde. (Wiskundig kan aangetoon word dat die verwagte waarde van die steekproefgemiddelde gelyk is aan die populasiegemiddelde). In die geval van die skatting van die populasiestandaardafwyking, is die steekproefstandaardafwyking ook 'n onbevooroordeelde beramer.
Wat is bevolkingstandaardafwyking?
Wanneer data van die hele bevolking in ag geneem kan word (byvoorbeeld in die geval van 'n sensus), is dit moontlik om die bevolking se standaardafwyking te bereken. Om die standaardafwyking van die populasie te bereken, word eers die afwykings van datawaardes vanaf die populasiegemiddelde bereken. Die wortel gemiddelde vierkant (kwadratiese gemiddelde) van afwykings word die populasie standaardafwyking genoem.
In 'n klas van 10 studente kan data oor die studente maklik ingesamel word. As 'n hipotese op hierdie populasie studente getoets word, is dit nie nodig om steekproefwaardes te gebruik nie. Byvoorbeeld, die gewigte van die 10 studente (in kilogram) word gemeet as 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 en 79. Dan is die gemiddelde gewig van die tien mense (in kilogram) (70+62+65+72+80+70+63+72+77+79)/10, wat 71 is (in kilogram). Dit is die gemiddelde bevolking.
Om nou die populasiestandaardafwyking te bereken, bereken ons afwykings vanaf die gemiddelde. Die onderskeie afwykings van die gemiddelde is (70 – 71)=-1, (62 – 71)=-9, (65 – 71)=-6, (72 – 71)=1, (80 – 71)=9, (70 – 71)=-1, (63 – 71)=-8, (72 – 71)=1, (77 – 71)=6 en (79 – 71)=8. Die som van kwadrate van afwyking is (-1)2 + (-9)2 + (-6)2 + 1 2 + 92 + (-1)2 + (-8)2+ 12 + 62 + 82 =366. Die bevolking se standaardafwyking is √(366/10)=6.05 (in kilogram). 71 is die presiese gemiddelde gewig van die studente van die klas en 6.05 is die presiese standaardafwyking van gewig vanaf 71.
Wat is voorbeeldstandaardafwyking?
Wanneer data van 'n steekproef (van grootte n) gebruik word om parameters van die populasie te skat, word die steekproefstandaardafwyking bereken. Eerstens word die afwykings van datawaardes vanaf die steekproefgemiddelde bereken. Aangesien die steekproefgemiddeld in die plek van die populasiegemiddelde (wat onbekend is) gebruik word, is die neem van die kwadratiese gemiddelde nie gepas nie. Om te kompenseer vir die gebruik van steekproefgemiddelde, word die som van kwadrate van afwykings gedeel deur (n-1) in plaas van n. Die steekproefstandaardafwyking is die vierkantswortel hiervan. In wiskundige simbole, S=√{∑(xi-ẍ)2 / (n-1)}, waar S die steekproefstandaardafwyking is, ẍ is die steekproefgemiddelde en xi's is die datapunte.
Veronderstel nou dat, in die vorige voorbeeld, die bevolking die studente van die hele skool is. Dan sal die klas slegs 'n voorbeeld wees. As hierdie steekproef in die skatting gebruik word, sal die steekproefstandaardafwyking √(366/9)=6 wees.38 (in kilogram) aangesien 366 deur 9 gedeel is in plaas van 10 (die steekproefgrootte). Die feit om waar te neem is dat dit nie gewaarborg is dat dit die presiese populasiestandaardafwykingwaarde is nie. Dit is bloot 'n skatting daarvoor.
Wat is die verskil tussen populasiestandaardafwyking en steekproefstandaardafwyking?
• Populasiestandaardafwyking is die presiese parameterwaarde wat gebruik word om die verspreiding vanaf die middelpunt te meet, terwyl die steekproefstandaardafwyking 'n onbevooroordeelde beramer daarvoor is.
• Bevolkingstandaardafwyking word bereken wanneer al die data oor elke individu van die populasie bekend is. Anders word die steekproefstandaardafwyking bereken.
• Populasiestandaardafwyking word gegee deur σ=√{ ∑(xi-µ)2/ n} waar µ die bevolkingsgemiddelde is en n die bevolkingsgrootte is, maar die steekproefstandaardafwyking word gegee deur S=√{ ∑(xi-ẍ)2 / (n-1)} waar ẍ die steekproefgemiddelde is en n die steekproefgrootte is.
