Lineêre vs nie-lineêre differensiaalvergelykings
'n Vergelyking wat ten minste een differensiaalkoëffisiënt of afgeleide van 'n onbekende veranderlike bevat, staan bekend as 'n differensiaalvergelyking.’n Differensiaalvergelyking kan óf lineêr óf nie-lineêr wees. Die bestek van hierdie artikel is om te verduidelik wat lineêre differensiaalvergelyking is, wat is nie-lineêre differensiaalvergelyking, en wat is die verskil tussen lineêre en nie-lineêre differensiaalvergelykings.
Sedert die ontwikkeling van calculus in die 18de eeu deur die wiskundiges soos Newton en Leibnitz, het differensiaalvergelyking 'n belangrike rol in die verhaal van wiskunde gespeel. Differensiaalvergelykings is van groot belang in wiskunde as gevolg van hul reeks toepassings. Differensiaalvergelykings is die kern van elke model wat ons ontwikkel om enige scenario of gebeurtenis in die wêreld te verduidelik of dit nou in fisika, ingenieurswese, chemie, statistiek, finansiële analise of biologie is (die lys is eindeloos). Trouens, totdat calculus 'n gevestigde teorie geword het, was behoorlike wiskundige hulpmiddels nie beskikbaar om die interessante probleme in die natuur te ontleed nie.
Gevolglike vergelykings uit 'n spesifieke toepassing van calculus kan baie kompleks wees en soms nie oplosbaar nie. Daar is egter een wat ons kan oplos, maar kan eenders en verwarrend lyk. Daarom, vir makliker identifikasie, word differensiaalvergelykings volgens hul wiskundige gedrag gekategoriseer. Lineêr en nie-lineêr is een so 'n kategorisering. Dit is belangrik om die verskil tussen lineêre en nie-lineêre differensiaalvergelykings te identifiseer.
Wat is 'n lineêre differensiaalvergelyking?
Veronderstel dat f: X→Y en f(x)=y, 'n differensiaalvergelyking sonder nie-lineêre terme van die onbekende funksie y en sy afgeleides bekend staan as 'n lineêre differensiaalvergelyking.
Dit stel die voorwaarde dat y nie hoër indeksterme kan hê soos y2, y3, … en veelvoude van afgeleides soos bv. as
Dit kan ook nie nie-lineêre terme soos Sin y, e y ^-2 of ln y bevat nie. Dit neem die vorm aan,
waar y en g funksies van x is. Die vergelyking is 'n differensiaalvergelyking van orde n, wat die indeks van die hoogste orde afgeleide is.
In 'n lineêre differensiaalvergelyking is die differensiaaloperateur 'n lineêre operateur en die oplossings vorm 'n vektorruimte. As gevolg van die lineêre aard van die oplossingstel, is 'n lineêre kombinasie van die oplossings ook 'n oplossing vir die differensiaalvergelyking. Dit wil sê, as y1 en y2 oplossings van die differensiaalvergelyking is, dan is C1 y 1+ C2 y2 is ook 'n oplossing.
Die lineariteit van die vergelyking is slegs een parameter van die klassifikasie, en dit kan verder gekategoriseer word in homogene of nie-homogene en gewone of gedeeltelike differensiaalvergelykings. As die funksie g=0 is, is die vergelyking 'n lineêre homogene differensiaalvergelyking. As f 'n funksie van twee of meer onafhanklike veranderlikes (f: X, T→Y) en f(x, t)=y is, dan is die vergelyking 'n lineêre parsiële differensiaalvergelyking.
Oplossingsmetode vir die differensiaalvergelyking is afhanklik van die tipe en die koëffisiënte van die differensiaalvergelyking. Die maklikste geval ontstaan wanneer die koëffisiënte konstant is. Klassieke voorbeeld vir hierdie geval is Newton se tweede bewegingswet en sy verskeie toepassings. Newton se tweede wet produseer 'n tweede-orde lineêre differensiaalvergelyking met konstante koëffisiënte.
Wat is 'n nie-lineêre differensiaalvergelyking?
Vergelykings wat nie-lineêre terme bevat, staan bekend as nie-lineêre differensiaalvergelykings.
Al hierbo is nie-lineêre differensiaalvergelykings. Nie-lineêre differensiaalvergelykings is moeilik om op te los, daarom is noukeurige studie nodig om 'n korrekte oplossing te kry. In die geval van parsiële differensiaalvergelykings het die meeste van die vergelykings geen algemene oplossing nie. Daarom moet elke vergelyking onafhanklik behandel word.
Navier-Stokes-vergelyking en Euler se vergelyking in vloeidinamika, Einstein se veldvergelykings van algemene relatiwiteit is welbekende nie-lineêre parsiële differensiaalvergelykings. Soms kan die toepassing van Lagrange-vergelyking op 'n veranderlike stelsel lei tot 'n stelsel van nie-lineêre parsiële differensiaalvergelykings.
Wat is die verskil tussen lineêre en nie-lineêre differensiaalvergelykings?
• 'n Differensiaalvergelyking, wat slegs die lineêre terme van die onbekende of afhanklike veranderlike en sy afgeleides het, staan bekend as 'n lineêre differensiaalvergelyking. Dit het geen term met die afhanklike veranderlike van indeks hoër as 1 nie en bevat geen veelvoud van sy afgeleides nie. Dit kan nie nie-lineêre funksies soos trigonometriese funksies, eksponensiële funksie en logaritmiese funksies met betrekking tot die afhanklike veranderlike hê nie. Enige differensiaalvergelyking wat bogenoemde terme bevat, is 'n nie-lineêre differensiaalvergelyking.
• Oplossings van lineêre differensiaalvergelykings skep vektorruimte en die differensiaaloperateur is ook 'n lineêre operator in vektorruimte.
• Oplossings van lineêre differensiaalvergelykings is relatief makliker en algemene oplossings bestaan. Vir nie-lineêre vergelykings bestaan die algemene oplossing in die meeste gevalle nie en die oplossing kan probleemspesifiek wees. Dit maak die oplossing baie moeiliker as die lineêre vergelykings.
