Verskil tussen integrasie en opsomming

2024 Outeur: Alex Aldridge | [email protected]. Laas verander: 2023-12-17 13:31

Integrasie vs Opsomming

In bogenoemde hoërskoolwiskunde word integrasie en opsomming dikwels in wiskundige bewerkings aangetref. Hulle word skynbaar as verskillende gereedskap en in verskillende situasies gebruik, maar hulle deel 'n baie hegte verhouding.

Meer oor Summation

Opsomming is die bewerking om 'n reeks getalle by te voeg en die bewerking word dikwels aangedui met die Griekse letter van hoofletter sigma Σ. Dit word gebruik om die opsomming te verkort en gelyk aan die som/totaal van die ry. Hulle word dikwels gebruik om die reeks voor te stel, wat in wese oneindige rye is wat opgesom is. Hulle kan ook gebruik word om die som van vektore, matrikse of polinome aan te dui.

Die opsomming word gewoonlik gedoen vir 'n reeks waardes wat deur 'n algemene term voorgestel kan word, soos 'n reeks wat 'n algemene term het. Die beginpunt en die eindpunt van die opsomming staan onderskeidelik bekend as die ondergrens en boonste grens van die opsomming.

Byvoorbeeld, die som van die ry a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n is a₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n wat maklik voorgestel kan word deur die opsommingsnotasie as ∑ _i=1 a_{i; i word die indeks van opsomming genoem.}

Baie variasies word gebruik vir die opsomming gebaseer op die toepassing. In sommige gevalle kan die boonste grens en ondergrens gegee word as 'n interval of 'n reeks, soos ∑_1≤i≤100 a_i en ∑_{i∈[1, 100]} a_i Of dit kan gegee word as 'n stel getalle soos ∑_i∈P a_{i, waar P 'n gedefinieerde versameling is.}

In sommige gevalle kan twee of meer sigma-tekens gebruik word, maar hulle kan soos volg veralgemeen word; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Die opsomming volg ook baie algebraïese reëls. Aangesien die ingebedde bewerking die optelling is, kan baie van die algemene reëls van algebra toegepas word op die somme self en vir die individuele terme wat deur die opsomming uitgebeeld word.

Meer oor integrasie

Die integrasie word gedefinieer as die omgekeerde proses van differensiasie. Maar in sy geometriese aansig kan dit ook beskou word as die area wat omring word deur die kromme van die funksie en die as. Daarom gee berekening van die oppervlakte die waarde van 'n definitiewe integraal soos in die diagram getoon.

Beeldbron:

Die waarde van die bepaalde integraal is eintlik die som van die klein stroke binne die kromme en die as. Die oppervlakte van elke strook is die hoogte × breedte by die punt op die as wat oorweeg word. Breedte is 'n waarde wat ons kan kies, sê ∆x. En hoogte is ongeveer die waarde van die funksie by die oorweegde punt, sê f (x_{i). Uit die diagram is dit duidelik dat hoe kleiner die stroke beter is, die stroke pas binne die begrensde area, dus beter benadering van die waarde.}

Dus, oor die algemeen kan die definitiewe integraal I, tussen die punte a en b (d.i. in die interval [a, b] waar a<b), gegee word as I ≅ f (x_{1))∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, waar n die aantal stroke is (n=(b-a)/∆x). Hierdie opsomming van die area kan maklik voorgestel word deur die opsommingsnotasie te gebruik as I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Aangesien die benadering beter is wanneer ∆x kleiner is, kan ons die waarde bereken wanneer ∆x→0. Daarom is dit redelik om te sê I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

As 'n veralgemening van die bostaande konsep, kan ons die ∆x kies gebaseer op die oorweegde interval geïndekseer deur i (kies die breedte van die area gebaseer op die posisie). Dan kry ons

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x) i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Dit staan bekend as die Reimann-integraal van die funksie f (x) in die interval [a, b]. In hierdie geval staan a en b bekend as die boonste grens en ondergrens van die integraal. Reimann-integraal is 'n basiese vorm van alle integrasiemetodes.

In wese is integrasie die som van die area wanneer die breedte van die reghoek oneindig klein is.

Wat is die verskil tussen integrasie en opsomming?

• Opsomming is die optel van 'n reeks getalle. Gewoonlik word die opsomming in hierdie vorm gegee ∑_i=1 a_{i wanneer die terme in die ry het 'n patroon en kan met 'n algemene term uitgedruk word.}

• Integrasie is basies die area wat begrens word deur die kromme van die funksie, die as en boonste en onderste grense. Hierdie area kan gegee word as die som van baie kleiner gebiede wat by die begrensde gebied ingesluit is.

• Opsomming behels die diskrete waardes met die boonste en onderste grense, terwyl die integrasie kontinue waardes behels.

• Integrasie kan geïnterpreteer word as 'n spesiale vorm van opsomming.

• In numeriese berekeningsmetodes word integrasie altyd as 'n opsomming uitgevoer.