Laplace vs Fourier Transforms
Beide Laplace-transform en Fourier-transform is integrale transformasies, wat die meeste gebruik word as wiskundige metodes om wiskundig gemodelleerde fisiese stelsels op te los. Die proses is eenvoudig. 'n Komplekse wiskundige model word omgeskakel na 'n eenvoudiger, oplosbare model deur gebruik te maak van 'n integrale transformasie. Sodra die eenvoudiger model opgelos is, word die inverse integrale transformasie toegepas, wat die oplossing vir die oorspronklike model sal verskaf.
Byvoorbeeld, aangesien die meeste van die fisiese stelsels differensiaalvergelykings tot gevolg het, kan hulle omgeskakel word in algebraïese vergelykings of tot 'n laer graad maklik oplosbare differensiaalvergelykings deur 'n integrale transformasie te gebruik. Dan sal dit makliker word om die probleem op te los.
Wat is die Laplace-transformasie?
Gegee 'n funksie f (t) van 'n reële veranderlike t, word die Laplace-transform daarvan gedefinieer deur die integraal [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (wanneer dit ook al bestaan), wat 'n funksie is van 'n komplekse veranderlike s. Dit word gewoonlik aangedui met L { f (t)}. Die inverse Laplace-transform van 'n funksie F (s) word as die funksie f (t) geneem op so 'n manier dat L { f (t)}=F (s), en in die gewone wiskundige notasie skryf ons, L-1{ F (s)}=f (t). Die inverse transformasie kan uniek gemaak word as nulfunksies nie toegelaat word nie. Mens kan hierdie twee identifiseer as lineêre operateurs wat in die funksieruimte gedefinieer word, en dit is ook maklik om te sien dat, L -1{ L { f (t)}}=f (t), as nulfunksies nie toegelaat word nie.
Die volgende tabel lys die Laplace-transformasies van sommige van die mees algemene funksies.
Wat is die Fourier-transform?
Gegewe 'n funksie f (t) van 'n reële veranderlike t, word die Laplace-transform daarvan gedefinieer deur die integraal [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (wanneer dit ook al bestaan), en word gewoonlik aangedui deur F { f (t)}. Die inverse transformasie F -1{ F (α)} word gegee deur die integraal [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Fourier-transformasie is ook lineêr, en kan beskou word as 'n operateur wat in die funksieruimte gedefinieer word.
Deur die Fourier-transform te gebruik, kan die oorspronklike funksie soos volg geskryf word mits die funksie slegs eindige aantal diskontinuïteite het en absoluut integreerbaar is.
Wat is die verskil tussen die Laplace- en die Fourier-transformasies?
- Fourier-transformasie van 'n funksie f (t) word gedefinieer as [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], terwyl die laplace-transform daarvan gedefinieer word as [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Fourier-transform word slegs gedefinieer vir funksies wat vir al die reële getalle gedefinieer is, terwyl Laplace-transform nie vereis dat die funksie gedefinieer word op stel die negatiewe reële getalle nie.
- Fourier-transformasie is 'n spesiale geval van die Laplace-transformasie. Dit kan gesien word dat beide saamval vir nie-negatiewe reële getalle. (d.w.s. neem s in die Laplace as iα + β waar α en β so reëel is dat e β=1/ √(2ᴫ))
- Elke funksie wat 'n Fourier-transform het, sal 'n Laplace-transform hê, maar nie andersom nie.
