Verskil tussen Power-reeks en Taylor-reeks

2024 Outeur: Alex Aldridge | [email protected]. Laas verander: 2023-12-17 13:31

Power-reeks vs Taylor-reeks

In wiskunde is 'n reële ry 'n geordende lys van reële getalle. Formeel is dit 'n funksie van die versameling natuurlike getalle na die versameling reële getalle. As 'n_n die n^th term van 'n ry is, dui ons die ry aan met of deur 'n ₁, 'n ₂, …, a_n, …. Beskou byvoorbeeld die ry 1, ½, ⅓, …, ¹ / _{n, …. Dit kan as {1/n} aangedui word.}

Dit is moontlik om 'n reeks te definieer deur reekse te gebruik. 'n Reeks is die som van die terme van 'n ry. Daarom is daar vir elke ry 'n geassosieerde volgorde en omgekeerd. As {a_{n} die ry wat oorweeg word, dan kan die reeks wat deur daardie ry gevorm word voorgestel word as:}

Dus, in die voorbeeld hierbo, is die geassosieerde reeks 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Soos die name aandui, is die magreeks 'n spesiale tipe reeks en dit word wyd gebruik in Numeriese Analise en verwante wiskundige modellering. Taylor-reeks is 'n spesiale kragreeks wat 'n alternatiewe en maklik-om-te-manipuleerbare manier bied om bekende funksies voor te stel.

Wat is Power-reeks?

'n magreeks is 'n reeks van die vorm

wat konvergent is (moontlik) vir een of ander interval gesentreer op c. Die koëffisiënte a_{nkan reële of komplekse getalle wees, en is onafhanklik van x; d.w.s. die dummy-veranderlike.}

Byvoorbeeld, deur a_n=1 vir elke n te stel, en c=0, die magreeks 1+x+x² +…..+ x^{+… word verkry. Dit is maklik om waar te neem dat wanneer x ε (-1, 1), hierdie magreeks konvergeer na 1/(1-x).}

A magreeks konvergeer wanneer x=c. Die ander waardes van x waarvoor die magreeks konvergeer, sal altyd die vorm aanneem van 'n oop interval gesentreer op c. Dit wil sê, daar sal 'n waarde 0≤ R ≤ ∞ wees sodat vir elke x wat |x-c|≤ R, die magreeks konvergent is en vir elke x wat |x-c|> R bevredig, die magreeks divergent is. Hierdie waarde R word radius van konvergensie van die magreeks genoem (R kan enige werklike waarde of positiewe oneindigheid neem).

Kragreekse kan opgetel, afgetrek, vermenigvuldig en gedeel word deur die volgende reëls te gebruik. Beskou die twee kragreekse:

Dan,

d.w.s. soortgelyke terme word bymekaar getel of afgetrek. Dit is ook moontlik om die twee magreekse te vermenigvuldig en te verdeel deur die identiteitte gebruik

Wat is Taylor-reeks?

Taylor-reeks word gedefinieer vir 'n funksie f (x) wat oneindig differensieerbaar is op 'n interval. Gestel f (x) is differensieerbaar op 'n interval gesentreer op c. Dan die magreeks wat gegee word deur

word die Taylor-reeksuitbreiding van die funksie f (x) oor c genoem. (Hier dui f⁽ⁿ⁾ (c) die n^{de afgeleide by x=c aan). In Numeriese Analise word 'n eindige aantal terme in hierdie oneindige uitbreiding gebruik in die berekening van waardes op punte waar die reeks konvergent is met die oorspronklike funksie.}

Daar word gesê dat 'n funksie f (x) analities is in die interval (a, b), as vir elke x ε (a, b), die Taylor-reeks van f (x) konvergeer na die funksie f (x). Byvoorbeeld, 1/(1-x) is analities op (-1, 1), aangesien sy Taylor-uitbreiding 1+x+x²+….+ x ^{+… konvergeer na die funksie op daardie interval, en e}x ^{is oral analities, aangesien die Taylor-reeks van e}x ^{konvergeer na e} x ^{vir elke reële getal x.}

Wat is die verskil tussen Power-reekse en Taylor-reekse?

1. Taylor-reeks is 'n spesiale klas magreekse wat slegs gedefinieer word vir funksies wat oneindig differensieerbaar is op een of ander oop interval.

2. Taylor-reeks neem die spesiale vorm aan

terwyl 'n magreeks enige reeks van die vorm kan wees