Verskil tussen lineêre vergelyking en nie-lineêre vergelyking

2024 Outeur: Alex Aldridge | [email protected]. Laas verander: 2023-12-17 13:31

Lineêre vergelyking vs nie-lineêre vergelyking

In wiskunde is algebraïese vergelykings vergelykings wat met polinome gevorm word. Wanneer dit eksplisiet geskryf word, sal die vergelykings van die vorm P(x)=0 wees, waar x 'n vektor van n onbekende veranderlikes is en P 'n polinoom is. Byvoorbeeld, P(x, y)=4x⁵ + xy³ + y + 10=0 is 'n algebraïese vergelyking in twee veranderlikes wat eksplisiet geskryf is. Ook, (x+y)³ =3x²y – 3zy⁴ is 'n algebraïese vergelyking, maar in implisiete vorm en dit sal die vorm aanneem Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy ² +3zy^{4=0, een keer uitdruklik geskryf.}

'n Belangrike kenmerk van 'n algebraïese vergelyking is die graad daarvan. Dit word gedefinieer as die hoogste mag van die terme wat in die vergelyking voorkom. As 'n term uit twee of meer veranderlikes bestaan, sal die som van die eksponente van elke veranderlike as die mag van die term beskou word. Let daarop dat volgens hierdie definisie P(x, y)=0 van graad 5 is, terwyl Q(x, y, z)=0 van graad 5 is.

Lineêre vergelykings en nie-lineêre vergelykings is 'n twee-partisie gedefinieer op die stel algebraïese vergelykings. Die graad van die vergelyking is die faktor wat hulle van mekaar onderskei.

Wat is 'n lineêre vergelyking?

'n Lineêre vergelyking is 'n algebraïese vergelyking van graad 1. Byvoorbeeld, 4x + 5=0 is 'n lineêre vergelyking van een veranderlike. x + y + 5z=0 en 4x=3w + 5y + 7z is lineêre vergelykings van onderskeidelik 3 en 4 veranderlikes. Oor die algemeen sal 'n lineêre vergelyking van n veranderlikes die vorm aanneem m₁x₁ + m₂x ₂ +…+ m_n-1x_n-1 + m_{n x}n _{=b. Hier is x}i_{'e die onbekende veranderlikes, m}i_{'e en b is reële getalle waar elkeen van m}i _{is nie-nul.}

So 'n vergelyking verteenwoordig 'n hipervlak in die n-dimensionele Euklidiese ruimte. In die besonder verteenwoordig 'n twee veranderlike lineêre vergelyking 'n reguit lyn in Cartesiese vlak en 'n drie veranderlike lineêre vergelyking verteenwoordig 'n vlak op Euklidiese 3-ruimte.

Wat is 'n nie-lineêre vergelyking?

'n Kwadratiese vergelyking is 'n algebraïese vergelyking, wat nie lineêr is nie. Met ander woorde, 'n nie-lineêre vergelyking is 'n algebraïese vergelyking van graad 2 of hoër. x² + 3x + 2=0 is 'n enkele veranderlike nie-lineêre vergelyking. x² + y³+ 3xy=4 en 8yzx² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 is voorbeelde van nie-lineêre vergelykings van onderskeidelik 3 en 4 veranderlikes.}

'n Tweedegraadse nie-lineêre vergelyking word 'n kwadratiese vergelyking genoem. As die graad 3 is, word dit 'n kubieke vergelyking genoem. Die graad 4- en graad 5-vergelykings word onderskeidelik kwartiese en kwintiese vergelykings genoem. Dit is bewys dat daar nie 'n analitiese metode bestaan om enige nie-lineêre vergelyking van graad 5 op te los nie, en dit geld ook vir enige hoër graad. Oplosbare nie-lineêre vergelykings verteenwoordig hiper oppervlaktes wat nie hipervlakke is nie.

Wat is die verskil tussen lineêre vergelyking en nie-lineêre vergelyking?

• 'n Lineêre vergelyking is 'n algebraïese vergelyking van graad 1, maar 'n nie-lineêre vergelyking is 'n algebraïese vergelyking van graad 2 of hoër.

• Al is enige lineêre vergelyking analities oplosbaar, is dit nie die geval in nie-lineêre vergelykings nie.

• In die n-dimensionele Euklidiese ruimte is die oplossingsruimte van 'n n-veranderlike lineêre vergelyking 'n hipervlak, terwyl dié van 'n n-veranderlike nie-lineêre vergelyking 'n hiperoppervlak is, wat nie 'n hipervlak is nie. (Kwadrieks, kubieke oppervlaktes en ens.)