Verskil tussen lineêre vergelyking en kwadratiese vergelyking

2024 Outeur: Alex Aldridge | [email protected]. Laas verander: 2023-12-17 13:31

Lineêre vergelyking vs kwadratiese vergelyking

In wiskunde is algebraïese vergelykings vergelykings wat met polinome gevorm word. Wanneer dit eksplisiet geskryf word, sal die vergelykings van die vorm P(x)=0 wees, waar x 'n vektor van n onbekende veranderlikes is en P 'n polinoom is. Byvoorbeeld, P(x, y)=x⁴ + y³ + x²y + 5=0 is 'n algebraïese vergelyking van twee veranderlikes wat eksplisiet geskryf is. Ook, (x+y)³=3x²y – 3zy⁴ is 'n algebraïese vergelyking, maar in implisiete vorm. Dit sal die vorm aanneem Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy² +3zy^{4=0, een keer uitdruklik geskryf.}

'n Belangrike kenmerk van 'n algebraïese vergelyking is die graad daarvan. Dit word gedefinieer as die hoogste mag van die terme wat in die vergelyking voorkom. As 'n term uit twee of meer veranderlikes bestaan, sal die som van die eksponente van elke veranderlike as die mag van die term beskou word. Let daarop dat volgens hierdie definisie P(x, y)=0 van graad 4 is terwyl Q(x, y, z)=0 van graad 5 is.

Lineêre vergelykings en kwadratiese vergelykings is twee verskillende tipes algebraïese vergelykings. Die graad van die vergelyking is die faktor wat hulle van die res van die algebraïese vergelykings onderskei.

Wat is 'n lineêre vergelyking?

'n Lineêre vergelyking is 'n algebraïese vergelyking van graad 1. Byvoorbeeld, 4x + 5=0 is 'n lineêre vergelyking van een veranderlike. x + y + 5z=0 en 4x=3w + 5y + 7z is lineêre vergelykings van onderskeidelik 3 en 4 veranderlikes. In die algemeen sal 'n lineêre vergelyking van n veranderlikes die vorm aanneem m₁x₁+m 2_x2_{+…+ m}n-1_{x n-1}+ m_nx_n =b. Hier is x_i'e die onbekende veranderlikes, m_i'e en b is reële getalle waar elkeen van m_i is nie-nul.

So 'n vergelyking verteenwoordig 'n hipervlak in die n-dimensionele Euklidiese ruimte. In die besonder verteenwoordig 'n twee veranderlike lineêre vergelyking 'n reguit lyn in Cartesiese vlak en 'n drie veranderlike lineêre vergelyking verteenwoordig 'n vlak op Euklidiese 3-ruimte.

Wat is 'n kwadratiese vergelyking?

'n Kwadratiese vergelyking is 'n algebraïese vergelyking van die tweede graad. x² + 3x + 2=0 is 'n enkele veranderlike kwadratiese vergelyking. x² + y² + 3x=4 en 4x² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 is voorbeelde van kwadratiese vergelykings van onderskeidelik 2 en 3 veranderlikes.}

In die enkelveranderlike geval is die algemene vorm van 'n kwadratiese vergelyking ax² + bx + c=0. Waar a, b, c reële getalle is waaruit 'a' is nie-nul. Die diskriminant ∆=(b^{2 – 4ac) bepaal die aard van die wortels van die kwadratiese vergelyking. Die wortels van die vergelyking sal reëel afsonderlik, reëel soortgelyk en kompleks wees soos ∆ positief, nul en negatief is. Die wortels van die vergelyking kan maklik gevind word deur die formule x=(- b ± √∆) / 2a. te gebruik}

In die twee veranderlike gevalle sal die algemene vorm ax² + by^{2 + cxy + dx + ex + f=wees 0, en dit verteenwoordig 'n kegel (parabool, hiperbool of ellips) in Cartesiese vlak. In hoër dimensies verteenwoordig hierdie tipe vergelykings hiper-oppervlaktes wat as kwadrieks bekend staan.}

Wat is die verskil tussen lineêre en kwadratiese vergelykings?

• 'n Lineêre vergelyking is 'n algebraïese vergelyking van graad 1, terwyl 'n kwadratiese vergelyking 'n algebraïese vergelyking van graad 2 is.

• In die n-dimensionele Euklidiese ruimte is die oplossingsruimte van 'n n-veranderlike lineêre vergelyking 'n hipervlak terwyl dié van 'n n-veranderlike kwadratiese vergelyking 'n kwadratiese oppervlak is.