Ortogonaal vs Ortonormaal
In wiskunde word die twee woorde ortogonaal en ortonormaal gereeld saam met 'n stel vektore gebruik. Hier word die term 'vektor' gebruik in die sin dat dit 'n element van 'n vektorruimte is - 'n algebraïese struktuur wat in lineêre algebra gebruik word. Vir ons bespreking sal ons 'n binneprodukruimte oorweeg – 'n vektorruimte V saam met 'n binneproduk gedefinieer op V.
As 'n voorbeeld, vir 'n binneproduk, is ruimte die stel van alle 3-dimensionele posisievektore saam met die gewone kolletjieproduk.
Wat is ortogonaal?
'n Nie-leë subset S van 'n innerlike produkruimte V word gesê dat dit ortogonaal is, as en slegs as vir elke afsonderlike u, v in S, [u, v]=0; d.w.s. die binneproduk van u en v is gelyk aan die nul-skalaar in die binneprodukruimte.
Byvoorbeeld, in die versameling van alle 3-dimensionele posisievektore, is dit gelykstaande daaraan om te sê dat vir elke afsonderlike paar posisievektore p en q in S, p en q loodreg op mekaar is. (Onthou dat die binneproduk in hierdie vektorruimte die puntproduk is. Ook die puntproduk van twee vektore is gelyk aan 0 as en slegs as die twee vektore loodreg op mekaar is.)
Beskou die versameling S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, wat 'n subset van die 3-dimensionele posisievektore is. Let op dat (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0, 5)=0. Die versameling S is dus ortogonaal. Daar word veral gesê dat twee vektore ortogonaal is as hul binneproduk 0 is. Daarom is elke paar vektore in Sis ortogonaal.
Wat is ortonormaal?
Daar word gesê dat 'n nie-leë subset S van 'n binneprodukruimte V ortonormaal is as en slegs as S ortogonaal is en vir elke vektor u in S, [u, u]=1. Daarom kan gesien word dat elke ortonormale stel is ortogonaal, maar nie omgekeerd nie.
Byvoorbeeld, in die versameling van alle 3-dimensionele posisievektore, is dit gelykstaande daaraan om te sê dat, vir elke afsonderlike paar posisievektore p en q in S, p en q loodreg op mekaar is, en vir elke p in S, |p|=1. Dit is omdat die toestand [p, p]=1 verminder na p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, wat gelykstaande is aan |p |=1. Gegewe 'n ortogonale versameling kan ons dus altyd 'n ooreenstemmende ortonormale versameling vorm deur elke vektor deur sy grootte te deel.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} is 'n ortonormale subset van die versameling van alle 3-dimensionele posisievektore. Dit is maklik om te sien dat dit verkry is deur elkeen van die vektore in die versameling S deur hul groottes te deel.
Wat is die verskil tussen ortogonaal en ortonormaal?
- Daar word gesê dat 'n nie-leë subset S van 'n binneprodukruimte V ortogonaal is, as en slegs as vir elke afsonderlike u, v in S, [u, v]=0. Dit is egter ortonormaal, indien en slegs as 'n bykomende voorwaarde – vir elke vektor u in S, [u, u]=1 bevredig is.
- Enige ortonormale stel is ortogonaal, maar nie andersom nie.
- Enige ortogonale versameling stem ooreen met 'n unieke ortonormale versameling, maar 'n ortonormale versameling kan met baie ortogonale versamelings ooreenstem.
