Afgeleide vs differensiaal
In differensiaalrekening is afgeleide en differensiaal van 'n funksie nou verwant, maar het baie verskillende betekenisse, en word gebruik om twee belangrike wiskundige voorwerpe wat met differensieerbare funksies verband hou, voor te stel.
Wat is afgeleide?
Afgeleide van 'n funksie meet die tempo waarteen die funksiewaarde verander soos die invoer daarvan verander. In multi-veranderlike funksies hang die verandering in die funksiewaarde af van die rigting van die verandering van die waardes van die onafhanklike veranderlikes. Daarom, in sulke gevalle, word 'n spesifieke rigting gekies en die funksie word in daardie spesifieke rigting gedifferensieer. Daardie afgeleide word die rigtingafgeleide genoem. Gedeeltelike afgeleides is 'n spesiale soort rigtingafgeleides.
Afgeleide van 'n vektor-gewaardeerde funksie f kan gedefinieer word as die limiet [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \tot 0}\\frac {f(\boldsimbool{x}+h \\boldsimbool{u})-f(\boldsimbool{x})}{h}[/latex] waar dit ook al eindig. Soos voorheen genoem, gee dit vir ons die toenametempo van die funksie f in die rigting van die vektor u. In die geval van 'n enkelwaarde-funksie, verminder dit na die bekende definisie van die afgeleide, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\tot 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Byvoorbeeld, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] is oral differensieerbaar, en die afgeleide is gelyk aan die limiet, [latex]\\lim_{h \\tot 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], wat is gelyk aan [latex]3x^{2}+4[/latex]. Die afgeleides van funksies soos [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] bestaan oral. Hulle is onderskeidelik gelyk aan die funksies [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Dit staan bekend as die eerste afgeleide. Gewoonlik word die eerste afgeleide van funksie f aangedui deur f (1) Deur nou hierdie notasie te gebruik, is dit moontlik om hoër orde afgeleides te definieer. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\tot 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] is die tweede orde rigtingafgeleide, en dui die n de afgeleide aan met f (n) vir elke n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\tot 0}\\frac{f^{(n) -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definieer die n th afgeleide.
Wat is differensiaal?
Differensiaal van 'n funksie verteenwoordig die verandering in die funksie met betrekking tot veranderinge in die onafhanklike veranderlike of veranderlikes. In die gewone notasie, vir 'n gegewe funksie f van 'n enkele veranderlike x, word die totale differensiaal van orde 1 df gegee deur, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Dit beteken dat vir 'n oneindige verandering in x (d.w.s. d x), daar 'n f (1)(x)d x verandering in f sal wees.
Deur limiete te gebruik, kan jy soos volg met hierdie definisie eindig. Gestel ∆ x is die verandering in x by 'n arbitrêre punt x en ∆ f is die ooreenstemmende verandering in die funksie f. Dit kan aangetoon word dat ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, waar ϵ die fout is. Nou, die limiet ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x)) (gebruik die voorheen genoemde definisie van afgeleide) en dus, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Daarom is dit moontlik om kom tot die gevolgtrekking dat, ∆ x→ 0 ϵ=0. Deur nou ∆ x→ 0 ∆ f as d f en ∆ x→ 0 ∆ x as d x aan te dui, word die definisie van die differensiaal noukeurig verkry.
Byvoorbeeld, die differensiaal van die funksie [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] is [latex](3x^{2}+4)dx[/latex].
In die geval van funksies van twee of meer veranderlikes, word die totale differensiaal van 'n funksie gedefinieer as die som van differensiale in die rigtings van elk van die onafhanklike veranderlikes. Wiskundig kan dit gestel word as [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Wat is die verskil tussen afgeleide en differensiaal?
• Afgeleide verwys na 'n veranderingstempo van 'n funksie terwyl die differensiaal verwys na die werklike verandering van die funksie, wanneer die onafhanklike veranderlike aan verandering onderworpe is.
• Die afgeleide word gegee deur [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \tot 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], maar die differensiaal word gegee deur [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
