Differensiasie vs Afgeleide
In differensiaalrekening is afgeleide en differensiasie nou verwant, maar baie verskillend, en word gebruik om twee belangrike wiskundige konsepte wat met funksies verband hou, voor te stel.
Wat is afgeleide?
Afgeleide van 'n funksie meet die tempo waarteen die funksiewaarde verander soos die invoer daarvan verander. In multi-veranderlike funksies hang die verandering in die funksiewaarde af van die rigting van die verandering van die waardes van die onafhanklike veranderlikes. Daarom, in sulke gevalle, word 'n spesifieke rigting gekies en die funksie word in daardie spesifieke rigting gedifferensieer. Daardie afgeleide word die rigtingafgeleide genoem. Gedeeltelike afgeleides is 'n spesiale soort rigtingafgeleides.
Afgeleide van 'n vektor-gewaardeerde funksie f kan gedefinieer word as die limiet [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \tot 0}\\frac {f(\boldsimbool{x}+h \\boldsimbool{u})-f(\boldsimbool{x})}{h}[/latex] waar dit ook al eindig. Soos voorheen genoem, gee dit vir ons die toenametempo van die funksie f in die rigting van die vektor u. In die geval van 'n enkelwaarde-funksie, verminder dit na die bekende definisie van die afgeleide, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\tot 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Byvoorbeeld, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] is oral differensieerbaar, en die afgeleide is gelyk aan die limiet, [latex]\\lim_{h \\tot 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], wat is gelyk aan [latex]3x^{2}+4[/latex]. Die afgeleides van funksies soos [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] bestaan oral. Hulle is onderskeidelik gelyk aan die funksies [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Dit staan bekend as die eerste afgeleide. Gewoonlik word die eerste afgeleide van funksie f aangedui deur f (1) Deur nou hierdie notasie te gebruik, is dit moontlik om hoër orde afgeleides te definieer. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\tot 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] is die tweede orde rigtingafgeleide, en dui die n de afgeleide aan met f (n) vir elke n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\tot 0}\\frac{f^{(n) -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definieer die n th afgeleide.
Wat is differensiasie?
Differensiasie is die proses om die afgeleide van 'n differensieerbare funksie te vind. D-operateur wat deur D aangedui word, verteenwoordig differensiasie in sommige kontekste. As x die onafhanklike veranderlike is, dan is D ≡ d/dx. Die D-operateur is 'n lineêre operateur, d.w.s. vir enige twee differensieerbare funksie f en g en konstante c, geld die volgende eienskappe.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
Deur die D-operateur te gebruik, kan die ander reëls wat met differensiasie geassosieer word, soos volg uitgedruk word. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 en D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Byvoorbeeld, wanneer F(x)=x 2sin x met betrekking tot x gedifferensieer word deur die reëls wat gegee word, sal die antwoord 2 x sin x + xwees 2cos x.
Wat is die verskil tussen differensiasie en afgeleide?• Afgeleide verwys na 'n tempo van verandering van 'n funksie • Differensiasie is die proses om die afgeleide van 'n funksie te vind. |
