Ewekansige veranderlikes vs Waarskynlikheidsverspreiding
Statistiese eksperimente is ewekansige eksperimente wat onbepaald herhaal kan word met 'n bekende stel uitkomste. Beide ewekansige veranderlikes en waarskynlikheidsverdelings word met sulke eksperimente geassosieer. Vir elke ewekansige veranderlike is daar 'n geassosieerde waarskynlikheidsverdeling gedefinieer deur 'n funksie genaamd kumulatiewe verspreidingsfunksie.
Wat is 'n ewekansige veranderlike?
'n Ewekansige veranderlike is 'n funksie wat numeriese waardes toeken aan die uitkomste van 'n statistiese eksperiment. Met ander woorde, dit is 'n funksie wat gedefinieer word vanaf die steekproefruimte van 'n statistiese eksperiment in die stel reële getalle.
Oorweeg byvoorbeeld 'n ewekansige eksperiment om 'n muntstuk twee keer om te draai. Die moontlike uitkomste is HH, HT, TH en TT (H – koppe, T – verhale). Laat die veranderlike X die aantal koppe wees wat in die eksperiment waargeneem is. Dan kan X die waardes 0, 1 of 2 neem, en dit is 'n ewekansige veranderlike. Hier sal die ewekansige veranderlike X die versameling S={HH, HT, TH, TT} (die steekproefruimte) aan die versameling {0, 1, 2} karteer op so 'n manier dat HH gekarteer word na 2, HT en TH word na 1 gekarteer en TT word na 0 gekarteer. In funksienotasie kan dit geskryf word as, X: S → R waar X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 en X(TT)=0.
Daar is twee tipes ewekansige veranderlikes: diskreet en kontinu, gevolglik is die aantal moontlike waardes wat 'n ewekansige veranderlike kan aanneem hoogstens telbaar of nie. In die vorige voorbeeld is die ewekansige veranderlike X 'n diskrete ewekansige veranderlike aangesien {0, 1, 2} 'n eindige versameling is. Oorweeg nou die statistiese eksperiment om die gewigte van studente in 'n klas te vind. Laat Y die ewekansige veranderlike wees wat gedefinieer word as die gewig van 'n student. Y kan enige werklike waarde binne 'n spesifieke interval neem. Gevolglik is Y 'n kontinue ewekansige veranderlike.
Wat is 'n waarskynlikheidsverdeling?
Waarskynlikheidsverspreiding is 'n funksie wat die waarskynlikheid beskryf dat 'n ewekansige veranderlike sekere waardes neem.
'n Funksie genaamd kumulatiewe verspreidingsfunksie (F) kan gedefinieer word vanaf die versameling reële getalle tot die versameling reële getalle as F(x)=P(X ≤ x) (die waarskynlikheid dat X kleiner is as of gelyk aan x) vir elke moontlike uitkoms x. Nou kan die kumulatiewe verspreidingsfunksie van X in die eerste voorbeeld geskryf word as F(a)=0, as a<0; F(a)=0.25, indien 0≤a<1; F(a)=0.75, as 1≤a<2 en F(a)=1, as a≥2.
In die geval van diskrete ewekansige veranderlikes, kan 'n funksie gedefinieer word vanaf die stel moontlike uitkomste tot die stel reële getalle op so 'n manier dat ƒ(x)=P(X=x) (die waarskynlikheid van X gelyk aan x) vir elke moontlike uitkoms x. Hierdie spesifieke funksie ƒ word die waarskynlikheidsmassafunksie van die ewekansige veranderlike X genoem. Nou kan die waarskynlikheidsmassafunksie van X in die eerste spesifieke voorbeeld geskryf word as ƒ(0)=0.25, ƒ(1)=0.5, ƒ(2)=0.25, en ƒ(x)=0 anders. Dus sal waarskynlikheidsmassafunksie saam met die kumulatiewe verspreidingsfunksie die waarskynlikheidsverdeling van X in die eerste voorbeeld beskryf.
In die geval van kontinue ewekansige veranderlikes, kan 'n funksie genoem die waarskynlikheidsdigtheidfunksie (ƒ) gedefinieer word as ƒ(x)=dF(x)/dx vir elke x waar F die kumulatiewe verspreidingsfunksie van die kontinue ewekansige veranderlike. Dit is maklik om te sien dat hierdie funksie voldoen aan ∫ƒ(x)dx=1. Die waarskynlikheidsdigtheidfunksie saam met die kumulatiewe verspreidingsfunksie beskryf die waarskynlikheidsverdeling van 'n kontinue ewekansige veranderlike. Byvoorbeeld, die normaalverdeling (wat 'n kontinue waarskynlikheidsverdeling is) word beskryf deur gebruik te maak van die waarskynlikheidsdigtheidfunksie ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x-) µ)]2/(2σ2)).
Wat is die verskil tussen ewekansige veranderlikes en waarskynlikheidverspreiding?
• Ewekansige veranderlike is 'n funksie wat waardes van 'n steekproefruimte aan 'n reële getal assosieer.
• Waarskynlikheidsverspreiding is 'n funksie wat waardes wat 'n ewekansige veranderlike kan neem aan die onderskeie waarskynlikheid van voorkoms assosieer.
