Parallelogram vs Vierhoek
Vierhoeke en parallelogramme is veelhoeke wat in Euklidiese Meetkunde voorkom. Parallelogram is 'n spesiale geval van die vierhoek. Vierhoeke kan óf plat (2D) óf 3 Dimensionaal wees terwyl parallelogramme altyd plat is.
Vierhoek
Vierhoek is 'n veelhoek met vier sye. Dit het vier hoekpunte, en die som van die interne hoeke is 3600 (2π rad). Vierhoeke word in selfkruisende en eenvoudige vierhoekkategorieë geklassifiseer. Die self-kruisende vierhoeke het twee of meer sye wat mekaar kruis, en kleiner meetkundige figure (soos driehoeke word binne die vierhoek gevorm).
Die eenvoudige vierhoeke word ook in konvekse en konkawe vierhoeke verdeel. Konkawe vierhoeke het aangrensende sye wat reflekshoeke binne die figuur vorm. Die eenvoudige vierhoeke wat nie inwendig reflekshoeke het nie, is konvekse vierhoeke. Die konvekse vierhoeke kan altyd tessellasies hê.
'n Groot deel van die meetkunde van vierhoeke op die aanvanklike vlakke het betrekking op die konvekse vierhoeke. Sommige vierhoeke is baie bekend vir ons uit die dae van laerskole. Die volgende is 'n diagram wat verskillende konvekse vierhoeke aantoon.
Parallelogram
Parallelogram kan gedefinieer word as die meetkundige figuur met vier sye, met teenoorstaande sye parallel aan mekaar. Meer presies is dit 'n vierhoek met twee pare ewewydige sye. Hierdie parallelle aard gee baie meetkundige kenmerke aan die parallelogramme.
'n Vierhoek is 'n parallelogram as die volgende meetkundige kenmerke gevind word.
• Twee pare teenoorstaande sye is ewe lank. (AB=DC, AD=BC)
• Twee pare teenoorstaande hoeke is ewe groot. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• As die aangrensende hoeke aanvullende [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• 'n Paar sye wat teenoor mekaar staan, is ewewydig en ewe lank. (AB=DC & AB∥DC)
• Die hoeklyne halveer mekaar (AO=OC, BO=OD)
• Elke diagonaal verdeel die vierhoek in twee kongruente driehoeke. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Verder is die som van die vierkante van die sye gelyk aan die som van die vierkante van diagonale. Dit word soms na verwys as die parallelogramwet en het wydverspreide toepassings in fisika en ingenieurswese. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Elkeen van die bogenoemde kenmerke kan as eienskappe gebruik word sodra vasgestel is dat die vierhoek 'n parallelogram is.
Oppervlakte van die parallelogram kan bereken word deur die produk van die lengte van een sy en die hoogte na die teenoorgestelde kant. Daarom kan oppervlakte van die parallelogram aangegee word as
Area van parallelogram=basis × hoogte=AB×h
Die oppervlakte van die parallelogram is onafhanklik van die vorm van individuele parallelogram. Dit is slegs afhanklik van die lengte van die basis en die loodregte hoogte.
As die sye van 'n parallelogram deur twee vektore voorgestel kan word, kan die oppervlakte verkry word deur die grootte van die vektorproduk (kruisproduk) van die twee aangrensende vektore.
As sye AB en AD onderskeidelik deur die vektore ([latex]\regs-pyl{AB}[/latex]) en ([latex]\oorregs-pyl{AD}[/latex]) verteenwoordig word, die oppervlakte van die parallelogram word gegee deur [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], waar α die hoek is tussen [latex]\ regspyl{AB}[/latex] en [latex]\ regspyl{AD}[/latex].
Volgende is 'n paar gevorderde eienskappe van die parallelogram;
• Die oppervlakte van 'n parallelogram is twee keer die oppervlakte van 'n driehoek wat deur enige van sy hoeklyne geskep word.
• Die oppervlakte van die parallelogram word in die helfte gedeel deur enige lyn wat deur die middelpunt gaan.
• Enige nie-gedegenereerde affiene transformasie neem 'n parallelogram na 'n ander parallelogram
• 'n Parallellogram het rotasiesimmetrie van orde 2
• Die som van die afstande vanaf enige binnepunt van 'n parallelogram na die sye is onafhanklik van die ligging van die punt
Wat is die verskil tussen Parallelogram en Vierhoek?
• Vierhoeke is veelhoeke met vier sye (soms genoem tetragone) terwyl parallelogram 'n spesiale tipe van 'n vierhoek is.
• Vierhoeke kan hul sye in verskillende vlakke hê (in 3d-ruimte) terwyl al die kante van die parallelogram op dieselfde vlak lê (planêr/ 2dimensioneel).
• Binnehoeke van die vierhoek kan enige waarde aanneem (insluitend reflekshoeke) sodat hulle optel tot 3600. Parallelogramme kan slegs stompe hoeke hê as die maksimum tipe hoek.
• Vier sye van die vierhoek kan van verskillende lengtes wees terwyl die teenoorgestelde sye van die parallelogram altyd ewewydig aan mekaar en ewe lank is.
• Enige diagonaal verdeel die parallelogram in twee kongruente driehoeke, terwyl die driehoeke wat deur die diagonaal van 'n algemene vierhoek gevorm word nie noodwendig kongruent is nie.
