Diskrete Funksie vs Kontinue Funksie
Funksies is een van die belangrikste klasse wiskundige voorwerpe, wat op groot skaal in byna alle subvelde van wiskunde gebruik word. Soos hul name aandui, is beide diskrete funksies en kontinue funksies twee spesiale tipes funksies.
'n Funksie is 'n verband tussen twee versamelings wat op so 'n manier gedefinieer is dat vir elke element in die eerste versameling, die waarde wat daarmee ooreenstem in die tweede versameling uniek is. Laat f 'n funksie wees wat gedefinieer word vanaf die versameling A na versameling B. Dan vir elke x ϵ A dui die simbool f (x) die unieke waarde in die versameling B aan wat met x ooreenstem. Dit word die beeld van x onder f genoem. Daarom is 'n verhouding f van A na B 'n funksie, as en slegs as vir, elke xϵ A en y ϵ A; as x=y dan f (x)=f (y). Die versameling A word die domein van die funksie f genoem, en dit is die versameling waarin die funksie gedefinieer word.
Beskou byvoorbeeld die verhouding f van R na R gedefinieer deur f (x)=x + 2 vir elke xϵ A. Dit is 'n funksie waarvan die domein R is, want vir elke reële getal x en y impliseer x=y f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Maar die verband g van N na N gedefinieer deur g (x)=a, waar 'a' 'n priemfaktore van x is, is nie 'n funksie as g (6)=3, sowel as g (6)=2.
Wat is 'n diskrete funksie?
'n Diskrete funksie is 'n funksie waarvan die domein hoogstens telbaar is. Dit beteken eenvoudig dat dit moontlik is om 'n lys te maak wat al die elemente van die domein insluit.
Enige eindige versameling is hoogstens telbaar. Die versameling natuurlike getalle en die versameling rasionale getalle is voorbeelde vir hoogstens telbare oneindige versamelings. Die stel reële getalle en die stel irrasionale getalle is hoogstens nie telbaar nie. Albei die stelle is ontelbaar. Dit beteken dat dit onmoontlik is om 'n lys te maak wat al die elemente van daardie stelle insluit.
Een van die mees algemene diskrete funksies is die faktoriale funksie. f:N U{0}→N rekursief gedefinieer deur f (n)=n f (n-1) vir elke n ≥ 1 en f (0)=1 word die faktoriale funksie genoem. Let daarop dat sy domein N U{0} hoogstens telbaar is.
Wat is 'n deurlopende funksie?
Laat f 'n funksie wees sodat vir elke k in die domein van f, f (x)→ f (k) as x → k. Dan is f 'n kontinue funksie. Dit beteken dat dit moontlik is om f (x) arbitrêr naby aan f (k) te maak deur x voldoende naby aan k te maak vir elke k in die domein van f.
Beskou die funksie f (x)=x + 2 op R. Dit kan gesien word as x → k, x + 2 → k + 2 is dit f (x)→ f (k). Daarom is f 'n kontinue funksie. Beskou nou g op positiewe reële getalle g (x)=1 as x > 0 en g (x)=0 as x=0. Dan is hierdie funksie nie 'n kontinue funksie nie aangesien die limiet van g (x) nie bestaan nie (en dus is dit nie gelyk aan g (0)) as x → 0.
Wat is die verskil tussen diskrete en kontinue funksie?
• 'n Diskrete funksie is 'n funksie waarvan die domein hoogstens telbaar is, maar dit hoef nie die geval te wees in kontinue funksies nie.
• Alle kontinue funksies ƒ het die eienskap dat ƒ(x)→ƒ(k) as x → k vir elke x en vir elke k in die domein van ƒ, maar dit is nie die geval in sommige diskrete funksies.
