Bepaalde vs onbepaalde integrale
Calculus is 'n belangrike tak van wiskunde, en differensiasie speel 'n kritieke rol in calculus. Die inverse proses van die differensiasie staan bekend as integrasie, en die inverse staan bekend as die integraal, of eenvoudig gestel, die inverse van differensiasie gee 'n integraal. Op grond van die resultate wat hulle produseer, word die integrale in twee klasse verdeel; bepaalde en onbepaalde integrale.
Meer oor onbepaalde integrale
Onbepaalde integraal is meer 'n algemene vorm van integrasie, en dit kan geïnterpreteer word as die anti-afgeleide van die beskoude funksie. Gestel differensiasie van F gee f, en die integrasie van f gee die integraal. Dit word dikwels geskryf as F(x)=∫ƒ(x)dx of F=∫ƒ dx waar beide F en ƒ funksies van x is, en F differensieerbaar is. In bogenoemde vorm word dit 'n Reimann-integraal genoem en die resulterende funksie vergesel 'n arbitrêre konstante. 'n Onbepaalde integraal produseer dikwels 'n familie van funksies; daarom is die integraal onbepaald.
Integrale en integrasieproses vorm die kern van die oplossing van differensiaalvergelykings. Anders as die differensiasie volg integrasie egter nie altyd 'n duidelike en standaard roetine nie; soms kan die oplossing nie eksplisiet in terme van elementêre funksie uitgedruk word nie. In daardie geval word die analitiese oplossing dikwels in die vorm van 'n onbepaalde integraal gegee.
Meer oor Bepaalde Integrale
Bepaalde integrale is die baie gewaardeerde eweknieë van onbepaalde integrale waar die integrasieproses eintlik 'n eindige getal produseer. Dit kan grafies gedefinieer word as die area wat begrens word deur die kromme van die funksie ƒ binne 'n gegewe interval. Wanneer die integrasie binne 'n gegewe interval van die onafhanklike veranderlike uitgevoer word, produseer die integrasie 'n definitiewe waarde wat dikwels geskryf word as a∫bƒ(x) dx of a∫b ƒdx.
Die onbepaalde integrale en bepaalde integrale is onderling verbind deur die eerste fundamentele stelling van calculus, en dit laat toe dat die bepaalde integraal met behulp van die onbepaalde integrale bereken word. Die stelling stel a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a) waar beide F en ƒ funksies van x is, en F is differensieerbaar in die interval (a, b). As die interval in ag geneem word, staan a en b bekend as die onderste limiet en die boonste limiet onderskeidelik.
Eerder as om net met reële funksies te stop, kan die integrasie uitgebrei word na komplekse funksies en daardie integrale word kontoerintegrale genoem, waar ƒ 'n funksie van die komplekse veranderlike is.
Wat is die verskil tussen bepaalde en onbepaalde integrale?
Onbepaalde integrale verteenwoordig die anti-afgeleide van 'n funksie, en dikwels, 'n familie van funksies eerder as 'n definitiewe oplossing. In bepaalde integrale gee die integrasie 'n eindige getal.
Onbepaalde integrale assosieer 'n arbitrêre veranderlike (vandaar die familie van funksies) en bepaalde integrale het nie 'n arbitrêre konstante nie, maar 'n boonste limiet en 'n onderste limiet van integrasie.
Onbepaalde integraal gee gewoonlik 'n algemene oplossing vir die differensiaalvergelyking.
