Binomiaal versus normale verspreiding
Waarskynlikheidsverspreidings van ewekansige veranderlikes speel 'n belangrike rol op die gebied van statistiek. Uit daardie waarskynlikheidsverdelings is binomiaalverspreiding en normaalverspreiding twee van die algemeenste in die werklike lewe.
Wat is binomiale verspreiding?
Binoomverdeling is die waarskynlikheidsverdeling wat ooreenstem met die ewekansige veranderlike X, wat die aantal suksesse van 'n eindige reeks onafhanklike ja/nee-eksperimente is wat elk 'n waarskynlikheid van sukses p. Uit die definisie van X is dit duidelik dat dit 'n diskrete ewekansige veranderlike is; daarom is binomiale verspreiding ook diskreet.
Die verspreiding word aangedui as X ~ B (n, p) waar n die aantal eksperimente is en p die waarskynlikheid van sukses is. Volgens waarskynlikheidsteorie kan ons aflei dat B (n, p) die waarskynlikheidsmassafunksie [latex] volg B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p))^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/latex]. Uit hierdie vergelyking kan verder afgelei word dat die verwagte waarde van X, E(X)=np en die variansie van X, V(X)=np (1- p).
Oorweeg byvoorbeeld 'n ewekansige eksperiment om 'n muntstuk 3 keer te gooi. Definieer sukses as die verkryging van H, mislukking as die verkryging van T en die ewekansige veranderlike X as die aantal suksesse in die eksperiment. Dan X ~ B (3, 0.5) en die waarskynlikheidsmassafunksie van X gegee deur [latex] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0.5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latex]. Daarom is die waarskynlikheid om ten minste 2 H'e te verkry P(X ≥ 2)=P (X=2 of X=3)=P (X=2) + P (X=3)=3 C2(0.52)(0.51) + 3 C3(0.53)(0.50)=0.375 + 0.125=0.5.
Wat is normale verspreiding?
Normale verspreiding is die kontinue waarskynlikheidsverdeling gedefinieer deur die waarskynlikheidsdigtheidfunksie, [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. Die parameters [latex] \mu en \\sigma [/latex] dui die gemiddelde en die standaardafwyking van die populasie van belang aan. Wanneer [latex] \mu=0 en \\sigma=1 [/latex] word die verspreiding die standaard normaalverspreiding genoem.
Hierdie verspreiding word normaal genoem aangesien die meeste van die natuurlike verskynsels die normale verspreiding volg. Byvoorbeeld, die IK van die menslike bevolking is normaalverspreid. Soos gesien uit die grafiek is dit unimodale, simmetries oor die gemiddelde en klokvormig. Die gemiddelde, modus en mediaan val saam. Die oppervlakte onder die kromme stem ooreen met die gedeelte van die bevolking, wat aan 'n gegewe voorwaarde voldoen.
Die gedeeltes van die bevolking in die interval [latex] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] is ongeveer 68.2%, 95.6% en 99.8% onderskeidelik.
Wat is die verskil tussen binomiale en normale verspreidings?
- Binoomverdeling is 'n diskrete waarskynlikheidsverdeling terwyl die normale verspreiding 'n kontinue een is.
- Die waarskynlikheidsmassafunksie van die binomiaalverdeling is [latex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], terwyl die waarskynlikheidsdigtheidfunksie van die normaalverdeling [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma is ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
- Binoomverdeling word benader met normale verspreiding onder sekere omstandighede, maar nie andersom nie.
