Mutually Exclusive vs Independent Events
Mense verwar dikwels die konsep van wedersyds uitsluitende gebeurtenisse met onafhanklike gebeurtenisse. Trouens, dit is twee verskillende dinge.
Laat A en B enige twee gebeurtenisse wees wat met 'n ewekansige eksperiment E geassosieer word. P(A) word die "Waarskynlikheid van A" genoem. Net so kan ons waarskynlikheid van B as P(B), waarskynlikheid van A of B as P(A∪B), en waarskynlikheid van A en B as P(A∩B) definieer. Dan, P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Twee gebeurtenisse word egter onderling uitsluitend uitgesluit as die voorkoms van een gebeurtenis nie die ander affekteer nie. Met ander woorde, hulle kan nie gelyktydig plaasvind nie. Dus, as twee gebeurtenisse A en B mekaar uitsluit, dan is A∩B=∅ en dus impliseer dit P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Laat A en B twee gebeurtenisse in 'n steekproefruimte S wees. Voorwaardelike waarskynlikheid van A, gegewe dat B plaasgevind het, word aangedui deur P(A | B) en word gedefinieer as; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), verskaf P(B)>0. (anders is dit nie gedefinieer nie.)
Daar word gesê dat 'n gebeurtenis A onafhanklik van 'n gebeurtenis B is, as die waarskynlikheid dat A plaasvind nie beïnvloed word deur of B plaasgevind het of nie. Met ander woorde, die uitkoms van gebeurtenis B het geen effek op die uitkoms van gebeurtenis A nie. Daarom, P(A | B)=P(A). Net so is B onafhanklik van A as P(B)=P(B | A). Gevolglik kan ons aflei dat as A en B onafhanklike gebeurtenisse is, dan P(A∩B)=P(A). P(B)
Veronderstel dat 'n genommerde kubus gerol word en 'n billike muntstuk omgeslaan word. Laat A die gebeurtenis wees wat die verkryging van 'n kop en B die gebeurtenis wees wat 'n ewe getal laat rol. Dan kan ons aflei dat gebeurtenisse A en B onafhanklik is, want daardie uitkoms van die een beïnvloed nie die uitkoms van die ander nie. Daarom, P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Aangesien P(A∩B)≠0, kan A en B nie mekaar uitsluit nie.
Veronderstel dat 'n urn 7 wit albasters en 8 swart albasters bevat. Definieer gebeurtenis A as teken van 'n wit albaster en gebeurtenis B as teken van swart albaster. As ons aanvaar dat elke albaster vervang sal word nadat die kleur daarvan aangeteken is, dan sal P(A) en P(B) altyd dieselfde wees, maak nie saak hoeveel keer ons uit die urn trek nie. Die vervanging van die albasters beteken dat die waarskynlikhede nie van trekking tot trekking verander nie, maak nie saak watter kleur ons op die laaste trekking gekies het nie. Daarom is gebeurtenis A en B onafhanklik.
As albasters egter sonder vervanging geteken is, dan verander alles. Onder hierdie aanname is die gebeurtenisse A en B nie onafhanklik nie. Om 'n wit albaster die eerste keer te teken, verander die waarskynlikhede om 'n swart albaster op die tweede trekking te teken, ensovoorts. Met ander woorde, elke trekking het 'n effek op die volgende trekking, en dus is die individuele trekkings nie onafhanklik nie.
Verskil tussen wedersyds eksklusiewe en onafhanklike geleenthede
– Wedersydse eksklusiwiteit van gebeurtenisse beteken dat daar geen oorvleueling tussen die versamelings A en B is nie. Onafhanklikheid van gebeurtenisse beteken dat A gebeur nie die gebeure van B nie.
– As twee gebeurtenisse A en B mekaar uitsluit, dan is P(A∩B)=0.
– As twee gebeurtenisse A en B onafhanklik is, dan P(A∩B)=P(A). P(B)
