Kardinal vs Ordinal
In ons daaglikse lewe kan die gebruik van getalle in verskillende situasies verskillende vorme aanneem. Byvoorbeeld, wanneer ons tel om die grootte van 'n versameling voorwerpe uit te vind, tel ons hulle as een, twee, drie, ensovoorts. Wanneer ons iets wil tel om die sin van die posisie van die voorwerpe te kry, tel ons hulle as eerste, tweede, derde, ensovoorts. In die eerste vorm van tel word gesê dat getalle kardinale getalle is. In die tweede vorm van tel word die getalle as rangtelgetalle beskou. In hierdie konteks is die begrippe kardinaal en ordinaal heeltemal 'n kwessie van linguistiek; kardinaal en ordinaal is byvoeglike naamwoorde.
Die uitbreiding van die konsep na versamelings in wiskunde openbaar egter 'n baie dieper en breër perspektief en kan nie in eenvoudige terme behandel word nie. In hierdie artikel sal ons probeer om die fundamentele konsepte van kardinale en rangtelgetalle in wiskunde te verstaan.
Formele definisies van kardinale en rangtelgetalle word in die versamelingsteorie verskaf. Die definisies is ingewikkeld en om dit in perfekte sin te verstaan, is agtergrondkennis in versamelingsteorie nodig. Daarom sal ons na 'n paar voorbeelde kyk om die konsepte heuristies te verstaan.
Oorweeg die twee stelle {1, 3, 6, 4, 5, 2} en {bus, motor, veerboot, trein, vliegtuig, helikopter}. Elke stel lys 'n stel elemente, en as ons die aantal elemente tel, is dit duidelik dat elkeen dieselfde aantal elemente het, wat 6 is. Om by hierdie gevolgtrekking te kom, het ons die grootte van een stel geneem en met 'n ander vergelyk deur 'n nommer. So 'n getal word 'n kardinale getal genoem. Daarom kan ons sê dat 'n kardinale getal 'n getal is wat ons kan gebruik om die grootte van die eindige versamelings te vergelyk.
Weereens kan die eerste stel nommers in stygende volgorde gerangskik word deur die grootte van elke element in ag te neem en hulle te vergelyk. In die proses van bestel word die getalle as kardinale beskou. Net so kan die versameling van alle nienegatiewe heelgetalle in 'n stel georden word; dit wil sê {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Maar in hierdie geval word die grootte van die stel oneindig, en dit is nie moontlik om dit in terme van ordinale te gee nie. Maak nie saak hoe groot 'n getal jy kies om die grootte van die stel te gee nie, daar sal steeds nommers uit die stel wat jy kies gelaat word en wat nie-negatiewe heelgetalle is.
Daarom definieer wiskundiges hierdie oneindige kardinaal (wat die eerste is) as Aleph-0, geskryf as א (eerste letter in die Hebreeuse alfabet). Formeel is die rangnommer die volgordetipe van 'n goed geordende stel. Daarom kan die ordinale getal van die eindige versamelings deur kardinale getalle gegee word, maar vir oneindige versamelings word ordinale gegee deur transfinite getalle soos Aleph-0.
Wat is die verskil tussen kardinale en rangnommers?
• Die kardinale getal is 'n getal wat gebruik kan word om te tel, of om die grootte van 'n eindig geordende versameling te gee. Alle kardinale getalle is ordinale.
• Die rangtelgetalle is getalle wat gebruik word om die grootte van beide eindige en oneindige geordende versamelings te gee. Die grootte van die eindig geordende versamelings word gegee deur gewone Hindoe-Arabiese algebraïese syfers, en die oneindige versameling grootte word gegee deur transfinite getalle.
